第三章-导数与微分

导数

定义：设函数$y = f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$，或$y'|_{x = x_0}$，或$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$。如果上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导。

【注】常用的导数定义的等价形式：$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$，$f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。

定义（左导数）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$及其某个左邻域内有定义，若左极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在时，则称该极限值为$f(x)$在点$x_0$处的左导数，记为$f'_-(x_0)$。

定义（右导数）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$及其某个右邻域内有定义，若右极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在时，则称该极限值为$f(x)$在点$x_0$处的右导数，记为$f'_+(x_0)$。

导数与左右导数的关系，类比于函数极限与函数左右极限的关系。

定理:

• 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

• 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的必要条件是：$f(x)$在点$x_0$处连续（即$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$）

定义（区间上可导及导函数）：如果$y = f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点都可导，则称$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。此时对于$(a,b)$内的每一点$x$，都对应一个导数值$f'(x)$，常称$f'(x)$为$f(x)$在$(a,b)$内的导函数，简称为导数。若$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，且$f'_+(a)$和$f'_-(b)$都存在，则称$f(x)$在区间$[a,b]$上可导。

• 导数的左极限：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) = f'_-(x_0) = f'(x_0 - 0)$

• 导数的右极限：$\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) = f'_+(x_0) = f'(x_0 + 0)$

导数的左 / 右极限求法：先求导函数；再求导函数在该点的左 / 右极限。

分段函数在分段点的导数一定要用定义来求解！！！可能不可导

导函数的左右极限与左导数、右导数无必然联系

证明:探讨极限$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$（$c \neq 0$）存在时，是否能推出$f(x)$在$x_0$处可导。

若$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = a$存在，则$f'(x_0) = a$。由此衍生出：

• $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} = f'(x_0)$（令$\Delta x = ah$）；

• $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh} = f'(x_0)$（令$\Delta x = -bh$）。

错误推导分析

若直接将$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$拆分为：$\frac{a}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} + \frac{b}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh}$.

进而得到$\frac{a + b}{c}f'(x_0)$存在，就断言$f(x)$在$x_0$处可导，这种推导是错误的。因为拆分后两个单独的极限不一定存在，仅整体极限存在不能保证部分极限存在。

反例验证（以$f(x) = |x|$为例）

取$a = b = c = 1$，$x_0 = 0$，计算：$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0 - h)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{|h| - |-h|}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0$

此极限存在，但$f(x) = |x|$在$x = 0$处不可导（左导数为$-1$，右导数为$1$，左右导数不相等）。这表明：即使$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$存在，也不能推出$f(x)$在$x_0$处可导。

结论：极限$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$存在，不能推出$f(x)$在$x_0$处可导，核心原因是拆分后的两个极限（对应左、右导数相关的极限）不一定存在。

微分

• 定义（微分）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$可以表示为$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$（$\Delta x \to 0$），其中$A$为不依赖于$\Delta x$的常数，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记为$dy = A\Delta x$。

• 定理：函数$y = f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$dy = f'(x_0)\Delta x = f'(x_0)dx$。在点$x$处，常记$dy = f'(x)dx$。

导数与微分的几何意义

1. 导数的几何意义：

• 导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

• 如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处必有切线，其切线方程为$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$。

• 如果$f'(x_0) \neq 0$，则此曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的法线方程为$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$。

• 如果$f'(x_0) = 0$，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$y = f(x_0)$，即曲线在点$(x_0,f(x_0))$处有水平切线。

• 【注】 若函数$f(x)$在$x = x_0$处可导，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处有切线，反之则不然。例如曲线$y = x^{\frac{1}{3}}$在点$(0,0)$处有切线$x = 0$（$y$轴），但函数$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$在$x = 0$处不可导（$f'(0) = \infty$）。

1. 微分的几何意义：

• 微分$dy = f'(x_0)dx$在几何上表示曲线$y = f(x)$的切线上的增量。

• $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$上的增量，且$\Delta y \approx dy$。

连续、可导、可微之间的关系

连续可导可微关系

函数可导与可微是等价的；可导（可微）能推出函数连续，但连续不能推出可导（可微）。

若$f(x)$在$x_0$的某领域可导，不能推出$f'(x)$在$x_0$处连续和$\lim \limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。

证明：函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x = 0\end{cases}$在$x = 0$处可导，但$\lim \limits_{x \to 0} f'(x)$不存在：

解：当$x\neq0$时，$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$；当$x = 0$时，$f'(0)=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0$。

​ $\lim \limits_{x \to 0} f'(x)=\lim \limits_{x \to 0}(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x})$，无穷小X有界-有界=极限不存在。

二阶可导不保证二阶导数连续或有极限。

总结：若$f(x)n$阶可导，洛必达法则可对$f^{n - 1}(x)$,若$f(x)n$阶连续可导，洛必达法则可对$f^{n}(x)$使用。

证明可导$\to$可微：

条件：$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

结论：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x)$（其中$A = f'(x_0)$，$o(\Delta x)$是$\Delta x$的高阶无穷小）。

​ 因为$\lim f(x)=A \Leftrightarrow \lim f(x)=A + \alpha$（$\alpha$为无穷小）

​ 所以$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha$（$\alpha$为无穷小）。

​ 进而$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\alpha\cdot\Delta x$，又因为$\frac{\alpha\cdot\Delta x}{\Delta x}=\alpha$（$\alpha$为无穷小），

​ 所以$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot\Delta x + o(\Delta x)$ （$A = f'(x_0)$）。

导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

$y = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$，$y = \sec x = \frac{1}{\cos x}$，$y = \csc x = \frac{1}{\sin x}$。

1. $(C)' = 0$

2. $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$

3. $(a^{x})' = a^{x}\ln a$

4. $(e^{x})' = e^{x}$

5. $(\log_{a}x)' = \frac{1}{x\ln a}$

6. $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$

7. $(\sin x)' = \cos x$

8. $(\cos x)' = -\sin x$

9. $(\tan x)' = \sec^{2}x$

10. $(\cot x)' = -\csc^{2}x$

11. $(\sec x)' = \sec x\tan x$

12. $(\csc x)' = -\csc x\cot x$

13. $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

14. $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

15. $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}$

16. $(\text{arccot }x)' = -\frac{1}{1 + x^{2}}$

17. ($\left[\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

18. $\left[\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)\right]^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}}$

2. 求导法则（别忘了后面要加上$dx$）

(1) 有理运算法则

设 $u = u(x)$，$v = v(x)$ 在 $x$ 处可导，则：

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$

• $(uv)' = u'v + uv'$

• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \ (v \neq 0)$

(2) 复合函数求导法

设 $u = \varphi(x)$ 在 $x$ 处可导，$y = f(u)$ 在对应点处可导，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在 $x$ 处可导，且 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x)$。

利用指数与对数的关系 $a = e^{\ln a}$，对幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 进行变形：

$u(x)^{v(x)} = e^{\ln\left(u(x)^{v(x)}\right)} = e^{v(x) \cdot \ln u(x)}$

这样就将幂指函数转化为以 $e$ 为底的指数函数，后续可通过链式法则求导。

示例：$y = x^{a^x}$（$a$ 为常数）

求导步骤：

将 $x^{a^x}$ 转化为以 $e$ 为底的指数函数：$x^{a^x} = e^{\ln\left(x^{a^x}\right)} = e^{a^x \cdot \ln x}$。

设 $t = a^x \cdot \ln x$，则 $y = e^t$。根据链式法则 $y' = y_t' \cdot t_x'$：

• 先对 $y = e^t$ 关于 $t$ 求导：$y_t' = e^t$。

• 再对 $t = a^x \cdot \ln x$ 关于 $x$ 求导（乘积法则）：

  根据乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$，设 $u = a^x$，$v = \ln x$，则：

  • $u' = a^x \cdot \ln a$（指数函数求导：$(a^x)' = a^x \ln a$）。

  • $v' = \frac{1}{x}$（对数函数求导：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$）。

    因此 $t_x' = a^x \cdot \ln a \cdot \ln x + a^x \cdot \frac{1}{x}$。

将 $y_t'$ 和 $t_x'$ 代入链式法则：

$y' = e^t \cdot \left( a^x \cdot \ln a \cdot \ln x + a^x \cdot \frac{1}{x} \right)$

再将 $t = a^x \cdot \ln x$（即 $e^t = x^{a^x}$）代回，得到最终导数：

$\left( x^{a^x} \right)' = x^{a^x} \cdot \left( a^x \ln a \cdot \ln x + \frac{a^x}{x} \right)$

(3) 隐函数求导法

隐函数定义：隐函数中，$y$ 与 $x$ 的关系隐含在一个等式 $F(x,y) = 0$ 中。

例如：$x^2 + y^2 = 4$，可变形为 $x^2 + y^2 - 4 = 0$。

显函数则是因变量、自变量分别在等式两端，$y$ 和 $x$ 各占一边，比如 $y = 3x$。

求导法则

把 $y$ 看作与 $x$ 相关的量，即 $y = y(x)$，等式两端同时对 $x$ 求导。

• 若 $y$ 对 $x$ 求导，结果为 $y'(x)$；

• 若 $y^2$ 对 $x$ 求导，根据复合函数求导法则，结果为 $2y(x) \cdot y'(x)$；

• 若 $\ln y$ 对 $x$ 求导，结果为 $\frac{1}{y(x)} \cdot y'(x)$。

以 $x^2 + y^2 = 4$ 为例，对 $x$ 求导：

根据求导法则，$x^2$ 对 $x$ 求导得 $2x$，$y^2$ 对 $x$ 求导得 $2y \cdot y'$，等式右边 $4$ 对 $x$ 求导得 $0$，所以有 $2x + 2y \cdot y' = 0$。

技巧：取对数简化计算，一般应用于指数函数中。

总结

若求 $\boldsymbol{\frac{dy}{dx}}$，一般有下列三种方法：
① 直接法
对方程 $F(x, y)=0$，视 $y=y(x)$，并在两边关于 $x$ 进行复合函数求导，表达式中出现 $y'$，然后出 $y'$，此时 $y'$ 仍是 $x, y$ 的函数。
② 公式法
将 $F(x, y)=0$ 看成二元函数（此时 $x$ 与 $y$ 无关），分别对 $x$ 与 $y$ 求偏导 $F'_x(x, y)$，$F'_y(x, y)$，即$\frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x(x, y)}{F'_y(x, y)}$
③ 微分法
将 $F(x, y)=0$ 看成二元函数（此时 $x$ 与 $y$ 无关），两边同时取全微分得
$F'_x(x, y)dx + F'_y(x, y)dy = 0$
即可解出 $\frac{dy}{dx}$。

若求 $\boldsymbol{\frac{d^2y}{dx^2}}$

一般先求出 $\frac{dy}{dx} = \varphi(x, y)$，它是 $x, y$ 的函数，然后再对 $\varphi(x, y)$（视 $y=y(x)$）关于 $x$ 求导，此时表达式中又会出现 $y'$，将 $y' = \varphi(x, y)$ 代入求得 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

例题1：$a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2}$（$a>0$）求 $y'$ 。

利用对数运算性质：

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$

• $\ln(a^b) = b\ln a$

• $\ln e^u = u$（因为 $\ln$ 与 $e$ 互为反函数）

对原式 $a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2}$ 两边取自然对数：

$\ln\left(a e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\ln a + \ln\left(e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}\right)$

$\ln a + \arctan\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)$

对等式两边关于 $x$ 求导：$\left(\arctan\frac{y}{x}\right)' = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)'$，$\left(\frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (x^2 + y^2)'$。

$\frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{xy' - y}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (2x + 2y \cdot y')$

$\frac{xy' - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y \cdot y'}{x^2 + y^2}$

$y' = \frac{x + y}{x - y}$。

例题2：已知$f(u)$有二阶导数，且$f'(0) = 1$，由$y - x e^{y - 1} = 1$确定$y = y(x)$，设$z = f(\ln y - \sin x)$，求$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}$和$\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}$。

步骤 1：求$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}$

（1）求$x = 0$时$y$的值

将$x = 0$代入$y - x e^{y - 1} = 1$，可得$y - 0 = 1$，即$y = 1$。

（2）对$z = f(\ln y - \sin x)$求一阶导数

根据复合函数求导法则，$\frac{dz}{dx} = f'(\ln y - \sin x) \cdot (\ln y - \sin x)'$。

对$\ln y - \sin x$求导，$(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'$，$(\sin x)' = \cos x$，所以$(\ln y - \sin x)' = \frac{y'}{y} - \cos x$。

因此，$\frac{dz}{dx} = f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right)$。

（3）求$y' \big|_{x = 0}$

对$y - x e^{y - 1} = 1$两边关于$x$求导：$y' - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y' = 0$。

将$x = 0$，$y = 1$代入上式，得$y' - e^{0} - 0 = 0$，即$y' = 1$，所以$y' \big|_{x = 0} = 1$。

（4）计算$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}$

将$x = 0$，$y = 1$，$y' \big|_{x = 0} = 1$代入$\frac{dz}{dx}$的表达式：$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = f'(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right) = f'(0) \cdot (1 - 1) = 0$。

步骤 2：求$\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}$

（1）对$\frac{dz}{dx}$求二阶导数

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right) \right)$

根据乘积法则和复合函数求导法则：

$\frac{d^2z}{dx^2} = f''(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right)^2 + f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'' \cdot y - (y')^2}{y^2} + \sin x \right)$

（2）求$y'' \big|_{x = 0}$

对$y' - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y' = 0$两边关于$x$求导：$y'' - e^{y - 1} \cdot y' - e^{y - 1} \cdot y' - x \left( e^{y - 1} \cdot (y')^2 + e^{y - 1} \cdot y'' \right) = 0$。

将$x = 0$，$y = 1$，$y' = 1$代入上式，得$y'' - 1 - 1 - 0 = 0$，即$y'' = 2$，所以$y'' \big|_{x = 0} = 2$。

（3）计算$\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}$

将$x = 0$，$y = 1$，$y' = 1$，$y'' = 2$代入$\frac{d^2z}{dx^2}$的表达式：

$$\begin{align*} \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} &= f''(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right)^2 + f'(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{2 \cdot 1 - 1^2}{1^2} + \sin 0 \right) \\ &= f''(0) \cdot 0^2 + f'(0) \cdot (1 + 0) \\ &= 0 + 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{align*}$$

综上，$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = 0$，$\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} = 1$。

(4) 反函数求导法

反函数定义：若有函数关系$\begin{cases} f(x) = y \\ g(y) = x \end{cases}$，则$f(g(y)) = f(x) = y$，且满足$f(g(x)) = x$，此时$g$是$f$的反函数，$f$也是$g$的反函数。

导数公式：若$y = f(x)$在$x_0$的某邻域内连续且严格单调，$y = f(x)$在$x_0$可导且$f'(x_0) \neq 0$，则其反函数$x = \varphi(y)$在$y_0 = f(x_0)$点可导，且有：$\varphi'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$，也可表示为$[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)}$或$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$。

反函数的导数等于原函数导数的倒数。

例题： 求$y = \cot x$（$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$）反函数的导数

$y = \cot x$（$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$）的反函数为 $x = \varphi(y) = \text{arccot } y$。

根据反函数导数公式：若$y = f(x)$的反函数为$x = \varphi(y)$，则$\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$。

已知$(\cot x)' = -\csc^2 x$，又因为三角恒等式$\csc^2 x = \cot^2 x + 1$，且$y = \cot x$，所以$\csc^2 x = y^2 + 1$，则$(\cot x)' = - (y^2 + 1)$。

将$f'(x) = - (y^2 + 1)$代入反函数求导公式，可得：$\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{- (y^2 + 1)} = -\frac{1}{y^2 + 1}$，即$(\text{arccot } y)' = -\frac{1}{y^2 + 1}$。

补充三角函数导数与恒等式（辅助公式）

• $(\cot x)' = -\csc^2 x$，$\csc^2 x = \cot^2 x + 1$；

• $(\tan x)' = \sec^2 x$，$\sec^2 x = \tan^2 x + 1$；

• $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，$\csc x = \frac{1}{\sin x}$。

(5) 参数方程求导法

设 $y = y(x)$ 是由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$（$\alpha < t < \beta$）确定的函数，则：

一阶导数：若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 都可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$。

二阶导数若： $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 二阶可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，则$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right) \cdot \frac{1}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \varphi''(t)\psi'(t)}{\varphi'^3(t)}$。

3. 高阶导数

定义（高阶导数）：如果 $y' = f'(x)$ 作为 $x$ 的函数在点 $x$ 可导，则称 $y'$ 的导数为 $y = f(x)$ 的二阶导数，记为 $y''$，或 $f''(x)$，或 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$。

一般地，函数 $y = f(x)$ 的 $n$ 阶导数为 $y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'$，也可记为 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}$。即 $n$ 阶导数就是 $n - 1$ 阶导函数的导数，

$f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f^{(n - 1)}(x_0 + \Delta x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0}.$

【注】：如果函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处 $n$ 阶可导，则在点 $x$ 的某邻域内 $f(x)$ 必定具有一切低于 $n$ 阶的导数。

常用的高阶导数公式

• $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$。

• $\sin^{(n)}(ax + b) = a^n \sin\left(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$。

• $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$。

• $(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$。

• $(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$。注意k从0开始

补充：$\mathrm{C}_{n}^{k}$ 是组合数符号，它表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数。

组合数的计算公式为：$\mathrm{C}_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$，其中 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$，并且规定 $0! = 1$，同时 $k$ 满足 $0 \leq k \leq n$。

做题总结

• 题目中出现在某点可导使用倒数定义，而不是洛必达法则

• 题目中出现$n$阶导数存在可以使用$n-1$次洛必达法则，才能得出$n$阶导数