极限

数列的极限

定义：如果对于任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在正整数 $ N $，当 $ n > N $ 时，恒有 $ |x_n - a| < \varepsilon $ 成立，则称常数 $ a $ 为数列 $ \{x_n\} $ 当 $ n $ 趋于无穷时的极限，记为 $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a $。

【注】

(1) $ \varepsilon $ 用来刻画 $ x_n $ 与 $ a $ 的接近程度，$ N $ 用来刻画 $ n \to \infty $ 这个极限过程。

(2) $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a $ 的几何意义是：对于 $ a $ 点的任何 $ \varepsilon $ 邻域（即开区间 $ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) $ ），一定存在 $ N $，当 $ n > N $（即第 $ N $ 项以后的点 $ x_n $ ）都落在开区间 $ (a - \varepsilon, a + \varepsilon) $ 内，而只有有限个（最多有 $ N $ 个）在这区间之外。

(3) 数列 $ \{x_n\} $ 的极限是否存在，以及极限值（若存在）的大小，与数列的前有限项无关。

(4) $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \Leftrightarrow \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k - 1} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = a $。

函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义（$ x \to +\infty $ 时）：若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ X > 0 $，当 $ x > X $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为 $ f(x) $ 当 $ x \to +\infty $ 时的极限，记为 $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A $。

定义（$ x \to -\infty $ 时）：若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ X > 0 $，当 $ x < -X $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为 $ f(x) $ 当 $ x \to -\infty $ 时的极限，记为 $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A $。

定义（$ x \to \infty $ 时）：若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ X > 0 $，当 $ |x| > X $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为 $ f(x) $ 当 $ x \to \infty $ 时的极限，记为 $ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A $。

【注】这里的 $ x \to \infty $ 是指 $ |x| \to +\infty $，而数列极限中的 $ n \to \infty $ 是指 $ n \to +\infty $。

定理：极限 $ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) $ 存在的充要条件是极限 $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) $ 及 $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) $ 存在并且相等。

自变量趋于有限值时函数的极限

定义（$ x \to x_0 $ 时）：若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ \delta > 0 $，当 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记为 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A $。

【注】

(1) $ \varepsilon $ 用来刻画 $ f(x) $ 与 $ A $ 的接近程度，$ \delta $ 用来刻画 $ x \to x_0 $ 这个极限过程。

(2) 几何意义：对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ \mathring{U}(x_0, \delta) $（$ x_0 $ 的去心邻域），当 $ x \in \mathring{U}(x_0, \delta) $ 时，曲线 $ y = f(x) $ 夹在两直线 $ y = A - \varepsilon $ 和 $ y = A + \varepsilon $ 之间。

(3) 这里 $ x \to x_0 $，但 $ x \neq x_0 $。极限 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) $ 是否存在、极限值（若存在）的大小，与 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处有没有定义、函数值（若有定义）的大小无关，只与 $ x = x_0 $ 的去心邻域 $ \mathring{U}(x_0, \delta) $ 内的函数值有关。而要使 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) $ 存在，$ f(x) $ 必须在 $ x = x_0 $ 的某去心邻域 $ \mathring{U}(x_0, \delta) $ 内处处有定义。

左极限定义

若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ \delta > 0 $，当 $ x_0 - \delta < x < x_0 $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的左极限，记为$ \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = A $或 $ f(x_0^-) = A $，或 $ f(x_0 - 0) = A $。

右极限定义

若对任意给定的 $ \varepsilon > 0 $，总存在 $ \delta > 0 $，当 $ x_0 < x < x_0 + \delta $ 时，恒有 $ |f(x) - A| < \varepsilon $，则称常数 $ A $ 为函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的右极限，记为$ \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = A $或 $ f(x_0^+) = A $，或 $ f(x_0 + 0) = A $。

定理：极限 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) $ 存在的充要条件是左极限 $ \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) $ 及右极限 $ \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) $ 存在并且相等。

【注】

需要分左、右极限求极限的问题，常见的有以下三种：

(1) 求分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（包括带有绝对值的函数，如 $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{|x|}{x} $ ）。

(2) $ \boldsymbol{e^\infty} $ 型极限（如 $ \lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} $，$ \lim\limits_{x \to \infty} e^x $，$ \lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} $ ）：

$\lim\limits_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0, \quad \lim\limits_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty \implies \lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} \text{不存在。}$

$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0, \quad \lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty \implies \lim\limits_{x \to \infty} e^x \text{不存在}。$

补充：$ e^\infty \neq \infty $，$ e^{+\infty} = +\infty $，$ e^{-\infty} = 0 $。

(3) $ \boldsymbol{\arctan \infty} $ 型极限（如 $ \lim\limits_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x} $，$ \lim\limits_{x \to \infty} \arctan x $ ）：

$\lim\limits_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}, \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \implies \lim\limits_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x} \text{不存在}$。

$\lim\limits_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}, \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} \implies \lim\limits_{x \to \infty} \arctan x \text{不存在}$

补充：$ \arctan \infty \neq \frac{\pi}{2} $，$ \arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2} $，$ \arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2} $。

极限的性质

有界性

（数列）如果数列 $ \{x_n\} $ 收敛，那么数列 $ \{x_n\} $ 一定有界。

【注】 反之不成立，反例为 $ x_n = (-1)^n $。显然，该数列有界但不收敛。由此可得：有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，无界数列一定发散，但发散数列不一定无界。

（函数）若 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) $ 存在，则 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 某去心邻域有界（即局部有界）。

【注】 反之不成立，反例为 $ f(x) = \sin \frac{1}{x} $，该函数在 $ x = 0 $ 的去心邻域有界，但它在 $ x = 0 $ 处的极限 $ \lim\limits_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} $ 不存在。

保号性

（数列）设 $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = A $。

如果 $ A > 0 $（或 $ A < 0 $ ），则存在 $ N > 0 $，当 $ n > N $ 时，$ x_n > 0 $（或 $ x_n < 0 $ ）。

如果存在 $ N > 0 $，当 $ n > N $ 时，$ x_n \geq 0 $（或 $ x_n \leq 0 $ ），则 $ A \geq 0 $（或 $ A \leq 0 $ ）。

【注】 注意结论 (1) 中是严格不等号（$ > $ 或 $ < $ ），(2) 中是非严格不等号（$ \geq $ 或 $ \leq $ ）。

（函数）设 $ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A $。

如果 $ A > 0 $（或 $ A < 0 $ ），则存在 $ \delta > 0 $，当 $ x \in \mathring{U}(x_0, \delta) $ 时，$ f(x) > 0 $（或 $ f(x) < 0 $ ）。

如果存在 $ \delta > 0 $，当 $ x \in \mathring{U}(x_0, \delta) $ 时，$ f(x) \geq 0 $（或 $ f(x) \leq 0 $ ），那么 $ A \geq 0 $（或 $ A \leq 0 $ ）。

极限值与无穷小之间的关系

$ \lim f(x) = A \Leftrightarrow f(x) = A + \alpha(x) $

其中 $ \lim \alpha(x) = 0 $（极限过程需与 $ \lim f(x) = A $ 的极限过程一致，如 $ x \to x_0 $ 或 $ x \to \infty $ 等）。

极限的存在准则

夹逼准则

若存在 $ N $，当 $ n > N $ 时，$ x_n \leq y_n \leq z_n $，且 $ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = \lim\limits_{n \to \infty} z_n = a $，则 $ \lim\limits_{n \to \infty} y_n = a $。

单调有界准则

单调有界数列必有极限，即单调增（减）有上（下）界的数列必有极限。

证明：数列单调且有界

证明数列单调的方法：
- 作差： $x_{n+1} - x_n \quad \underline{?} \quad 0$
- 作商：$\frac{x_{n+1}}{x_n} \quad \underline{?} \quad 1$($x_n$全程不变号)
- 双差(重点)：$\frac{x_{n+1} - x_n}{x_n - x_{n-1}} > 0$，再看$x_{n+1} - x_n$的符号，判断单调递增/递减
- 数学归纳法
证明数列有界的方法
- 不等式
- 放缩
假设数列极限为A，对递推式两端同时取极限建立关于A的方程，求A的值。（合理取舍）

【注】

(1) 夹逼准则比较多地用在求 $ n $ 项和的数列极限上，而单调有界准则比较多地用在求递推关系 $ x_{n + 1} = f(x_n) $ 所定义的数列极限上。

(2) 函数极限也有对应的以上两条存在准则（形式类似，将数列下标 $ n $ 替换为函数自变量 $ x $ ，并调整极限过程描述即可）。

无穷小量

若函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $（或 $ x \to \infty $）时的极限为零，则称 $ f(x) $ 为 $ x \to x_0 $（或 $ x \to \infty $）时的无穷小量。

无穷小的比较

设 $ \lim \alpha(x) = 0 $，$ \lim \beta(x) = 0 $，且 $ \beta(x) \neq 0 $（极限过程需统一，如 $ x \to x_0 $ 或 $ x \to \infty $ 等）。

(1) 高阶：若 $ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0 $，记为 $ \alpha(x) = o(\beta(x)) $。

(2) 低阶：若 $ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \infty $。

(3) 同阶：若 $ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = C \neq 0 $。

(4) 等价：若 $ \lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 $，记为 $ \alpha(x) \sim \beta(x) $。

(5) 无穷小的阶：若 $ \lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k} = C \neq 0 $，则称 $ \alpha(x) $ 是 $ \beta(x) $ 的 $ k $ 阶无穷小。

性质

(1) 有限个无穷小的和仍是无穷小。

(2) 有限个无穷小的积仍是无穷小。

(3) 无穷小量与有界量的积仍是无穷小。

【注】以上前两条中的 “有限” 二字不能少（无限个无穷小的和或积不一定是无穷小）。

无穷大量

若函数 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $（或 $ x \to \infty $）时趋向于无穷，则称 $ f(x) $ 为 $ x \to x_0 $（或 $ x \to \infty $）时的无穷大量。

即：若对任意给定的 $ M > 0 $，总存在 $ \delta > 0 $，当 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 时，恒有 $ |f(x)| > M $，则称 $ f(x) $ 为 $ x \to x_0 $ 时的无穷大量（$ x \to \infty $ 时类似，将 $ 0 < |x - x_0| < \delta $ 替换为 $ |x| > X $ 等对应条件）。

常用的一些无穷大量的比较

(1) 当 $ x \to +\infty $ 时：$ \ln^\alpha x \ll x^\beta \ll a^x $，其中 $ \alpha > 0 $，$ \beta > 0 $，$ a > 1 $。

【注】 $ \ll $ 是远小于号，这些结论可以用洛必达法则证明。

(2) 当 $ n \to \infty $ 时：$ \ln^\alpha n \ll n^\beta \ll a^n \ll n! \ll n^n $，其中 $ \alpha > 0 $，$ \beta > 0 $，$ a > 1 $。

性质

(1) 两个无穷大量的积仍为无穷大量。

(2) 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

无穷大量与无界变量的关系

以数列为例说明无穷大量与无界变量的关系，先回顾两个概念：

(1) 数列 $ \{x_n\} $ 是无穷大量：$ \forall M > 0 $，$ \exists N > 0 $，当 $ n > N $ 时，恒有 $ |x_n| > M $。

(2) 数列 $ \{x_n\} $ 是无界变量：$ \forall M > 0 $，$ \exists N > 0 $，使 $ |x_N| > M $。

由以上定义可知：无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量。

无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中：

如果 $ f(x) $ 是无穷大，则 $ \frac{1}{f(x)} $ 是无穷小；
反之，如果 $ f(x) $ 是无穷小，且 $ f(x) \neq 0 $，则 $ \frac{1}{f(x)} $ 是无穷大。

特殊情况：若 $ f(x) \equiv 0 $，它是 $ x \to x_0 $ 时的无穷小量，但 $ \frac{1}{f(x)} $ 无意义，所以不是无穷大量。

极限的连续性

定义 1：设$y = f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)] = 0$，则称$y = f(x)$在点$x_0$处连续。

定义 2：设$y = f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称$y = f(x)$在点$x_0$处连续。

注：以上两个定义是等价的。

左连续：若$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，则称$y = f(x)$在点$x_0$处左连续。

右连续：若$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，则称$y = f(x)$在点$x_0$处右连续。

定理：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$处既左连续又右连续。

区间上的连续：

如果$f(x)$在区间$(a,b)$内每点都连续，则称$f(x)$在$(a,b)$内连续。
若$f(x)$在区间$(a,b)$内连续，在$x = a$处右连续，在$x = b$处左连续，则称$f(x)$在$[a,b]$上连续。

思考：函数在某点极限存在，一定连续吗？
不一定

结论：若$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数$f(x)$在$x = x_0$处连续。这意味着：

$f(x_0)$一定存在；
极限值与该点函数值相同。

函数$f(x)$在$x = x_0$处连续，需要满足以下三个条件：

左右极限存在；
左右极限相等（左右极限存在且相等，才能说明函数在该点极限存在）；
此极限值等于函数在该点的函数值。

间断点及其分类

间断点的定义：若$f(x)$在$x_0$的某去心邻域内有定义，但在$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的间断点。
间断点的分类（求函数在该点的左右极限）：

第一类间断点：左、右极限都存在的间断点。
- 可去间断点：左、右极限都存在且相等的间断点。
- 跳跃间断点：左、右极限都存在但不相等的间断点。

第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在的间断点。
- 无穷间断点：若$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\infty$或$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=\infty$，则称$x_0$为$f(x)$的无穷间断点。
- 振荡间断点：以函数$y = \sin\frac{1}{x}$为例，在$x = 0$处没定义，且左、右极限都不存在，当$x \to 0$时，其函数值在$-1$与$1$之间无穷多次振荡，称点$x = 0$为函数$\sin\frac{1}{x}$的振荡间断点。

间断点的产生原因：

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$根本不存在（左右极限不存在 / 存在且不等）。
$f(x)$在$x = x_0$处无定义（$f(x_0)$不存在）。
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\neq f(x_0)$。

连续性的运算与性质

定理：设函数$f(x)$和$g(x)$在点$x_0$处连续，则$f(x) \pm g(x)$、$f(x) \cdot g(x)$、$\frac{f(x)}{g(x)}$（$g(x_0) \neq 0$）在点$x_0$处也连续。
定理：设函数$u = \varphi(x)$在点$x = x_0$处连续，且$\varphi(x_0) = u_0$，而函数$y = f(u)$在点$u = u_0$处连续，则复合函数$y = f[\varphi(x)]$在$x = x_0$处也连续。
定理：基本初等函数在其定义域内都是连续的。
定理：初等函数在其定义区间内都是连续的。

【注】：所谓定义区间，是指包含在定义域内的区间。

闭区间上连续函数的性质

定理（最值定理）：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值与最小值。
定理（有界性定理）：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有界。
定理（介值定理）：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a) \neq f(b)$，则对于任意介于$f(a)$与$f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi) = C$。
推论：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可取到介于最小值$m$与最大值$M$之间的任何值。
定理（零点定理）：设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi) = 0$。

【注】

零点定理的一个重要应用就是证明方程的根的存在性。
零点定理适用于题目中等式的一端$=0$，介质定理适用于题目中等式的一端$\neq 0$。
零点定理解题步骤：构造函数；验证连续性；计算区间端点函数值；得出结论
介质定理解题步骤：确定函数最值；验证$C$的范围；应用最值定理

例题1：证明连续函数存在不动点

已知$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$0 \leq f(x) \leq 1$，求证：$\exists c \in [0,1]$，使$f(c) = c$。

证明过程

构造辅助函数

构造$F(x) = f(x) - x$。

分析辅助函数的端点值

计算$F(0)$：$F(0) = f(0) - 0 = f(0)$，由已知$0 \leq f(x) \leq 1$，可得$F(0) \geq 0$。
计算$F(1)$：$F(1) = f(1) - 1$，由已知$0 \leq f(x) \leq 1$，可得$F(1) \leq 0$。

分情况讨论

若$F(0) = 0$，则$f(0) - 0 = 0$，即$f(0) = 0$，此时取$c = 0$，满足$f(c) = c$；若$F(1) = 0$，则$f(1) - 1 = 0$，即$f(1) = 1$，此时取$c = 1$，满足$f(c) = c$。
若$F(0) \neq 0$且$F(1) \neq 0$，结合前面的结论，可得$F(0) > 0$，$F(1) < 0$，那么$F(0) \cdot F(1) < 0$。

由零点定理可知，至少存在一点$c \in (0,1)$，使得$F(c) = 0$，即$f(c) - c = 0$，也就是$f(c) = c$。

综上，$\exists c \in [0,1]$，使$f(c) = c$。

例题2：连续函数的介值定理应用

已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$a < c < d < b$，求证：对任意正数$m,n$，$\exists \xi \in (a,b)$，使得$mf(c) + nf(d) = (m + n)f(\xi)$。

证明过程

利用最值定理确定范围

因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据最值定理，$f(x)$在$[a,b]$上有最小值$m_{\min}$和最大值$M_{\max}$，即$m_{\min} \leq f(x) \leq M_{\max}$，对任意$x \in [a,b]$成立。

又因为$c \in [a,b]$，$d \in [a,b]$，所以$m_{\min} \leq f(c) \leq M_{\max}$，$m_{\min} \leq f(d) \leq M_{\max}$。

分析$\frac{mf(c) + nf(d)}{m + n}$的范围

由于$m,n$是正数，对$m_{\min} \leq f(c) \leq M_{\max}$两边同乘$m$，可得$m \cdot m_{\min} \leq mf(c) \leq m \cdot M_{\max}$；

对$m_{\min} \leq f(d) \leq M_{\max}$两边同乘$n$，可得$n \cdot m_{\min} \leq nf(d) \leq n \cdot M_{\max}$。

将两式相加，得到$m \cdot m_{\min} + n \cdot m_{\min} \leq mf(c) + nf(d) \leq m \cdot M_{\max} + n \cdot M_{\max}$，即$(m + n)m_{\min} \leq mf(c) + nf(d) \leq (m + n)M_{\max}$。

两边同时除以$m + n$（$m + n > 0$），可得$m_{\min} \leq \frac{mf(c) + nf(d)}{m + n} \leq M_{\max}$。

应用介值定理

由介值定理可知，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi) = \frac{mf(c) + nf(d)}{m + n}$，两边同乘$m + n$，即$mf(c) + nf(d) = (m + n)f(\xi)$。

综上，对任意正数$m,n$，$\exists \xi \in (a,b)$，使得$mf(c) + nf(d) = (m + n)f(\xi)$。

求极限总结

常见的基本极限

$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim \limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
$\lim\limits_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \ (a > 0)$
$\lim \limits_{n \to \infty} q^n = 0 \quad (0 < |q| < 1)$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n + 1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^p}{(n + 1)^p} = 1 \ (p \text{为常数})$
当$\square \to 1$时，$\ln \square = \square - 1$
$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + b_1 x + b_0} = \begin{cases}
\frac{a_n}{b_m}, & n = m \\
0, & n < m \\
\infty, & n > m
\end{cases}$
$\lim_{x \to 0} \frac{a_m x^m + o(x^m)}{b_n x^n + o(x^n)} = \begin{cases}
\infty, & m < n \\
\frac{a_m}{b_n}, & m = n \\
0, & m > n
\end{cases}$
$\lim_{x \to 0} e^x = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
+\infty, & x > 0 \\
1, & x = 0
\end{cases}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$
$\lim\limits_{x \to \infty} x^n = \begin{cases}
0, & |x| < 1 \\
\infty, & |x| > 1 \\
1, & x = 1 \\
\text{不存在}, & x = -1
\end{cases}$

常见的等价无穷小（$x \to 0$时）

$x$的一阶无穷小

$\sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1 + x) \sim e^x - 1 \sim \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \sim x$
$a^x - 1 \sim x\ln {a}$，$\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{n}x$，$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$，$\log_{a}(x + 1) \sim \frac{x}{\ln a} \ (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$

$x$的二阶无穷小

$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$1 - \cos^n x \sim \frac{n}{2}x^2$，$ x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2$

$x$的三阶无穷小

$x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$，$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$，$ \arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3$，$x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$，$\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3$

代换原则

乘除关系可以换

若$\alpha \sim \alpha_1$，$\beta \sim \beta_1$，则$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta} = \lim \frac{\alpha}{\beta_1} = \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}$
加减关系在一定条件下可以换

若$\alpha \sim \alpha_1$，$\beta \sim \beta_1$，且$\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq 1$，则$\alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1$；

若$\alpha \sim \alpha_1$，$\beta \sim \beta_1$，且$\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq -1$，则$\alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1$。

注：代换原则说明等价无穷小只能用在相对于整个极限而言的乘除因子中，不可用在加减法中。

泰勒公式

麦克劳林公式（泰勒公式的特殊情况）$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + \frac{f’’’(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$
九个常见的泰勒公式

$f(x) = \sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + o(x^{2n - 1})$
$f(x) = \cos x = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$
$f(x) = \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$
$f(x) = \arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots + \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} + o(x^{2n + 1})$
$f(x) = \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1} + o(x^{2n + 1})$

注：$(2n - 1)!!$、$(2n)!!$表示奇、偶阶乘，即$(2n - 1)!! = 1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n - 1)$，$(2n)!! = 2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2n)$
$f(x) = \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k + 1}}{2k + 1} + o(x^{2k + 1})$
$f(x) = e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$f(x) = \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}x^3 + \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$f(x) = (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + o(x^n)$
$f(x) = \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n)$

有理运算法则

若$\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则有以下运算法则：

加减运算：$\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm\lim g(x)=A\pm B$。
乘法运算：$\lim[f(x)g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=AB$。
除法运算：$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）。

助记：

存在$\pm$不存在$=$不存在。
不存在$\pm$不存在$=$不一定。
存在$\times(\div)$不存在$=$不一定。
不存在$\times(\div)$不存在$=$不一定。

常用结论：

若$\lim f(x)=A\neq0$，则$\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$（可先求出极限非零的因子的极限）。
若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且$\lim g(x) = 0$，则$\lim f(x)=0$。
若$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0$，且$\lim f(x)=0$，则$\lim g(x)=0$。

常用结论

$1^\infty$型极限常用结论

若$\lim \alpha(x) = 0$，$\lim \beta(x) = \infty$，且$\lim \alpha(x)\beta(x) = A$，则$\lim [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A$。

归纳为三步：

写标准形式：$\lim [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$
求极限：$\lim \alpha(x)\beta(x) = A$
写结果：原式$= e^A$

当$x \to 0$时，$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$。这个结论推广可得：若$\alpha(x) \to 0$，$\alpha(x)\beta(x) \to 0$，则$[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} - 1 \sim \alpha(x)\beta(x)$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = a$，其中$a_i > 0 \ (i = 1, 2, \cdots, m)$，$a = \max\{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$。证明：令$\max\{a_1, a_2, \cdots, a_m\} = a$，则$\sqrt[n]{a^n} \leq \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} \leq \sqrt[n]{m a^n}$。因为$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n} = a$，$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m a^n} = a$，由夹逼准则得$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = a$

求极限步骤

代入$x$的极限值，分析极限的类型和可使用的化简

$\frac{0}{0}$型：等价替换、洛、泰
$\frac{\infty}{\infty}$型：洛、泰，提公因子
$0 \times \infty$型：等价替换，化为$\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$或$\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$型

例：$\lim \limits_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$（$\frac{\infty}{\infty}$型），$\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim \limits_{x \to 0^+} (-x) = 0$
$1^\infty$型：幂指函数指数化、重要极限、常用结论

例：$\lim \limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

解 1：幂指函数指数化，$\lim \limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim \limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln [\cos x - 1 + 1]}$，

等价替换$\ln [\cos x - 1 + 1] \sim \cos x - 1$，则$\lim \limits_{x \to 0} e^{\frac{\cos x - 1}{x^2}} = e^{\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}$

解 2：常用结论，$\lim \limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim \limits_{x \to 0} [1 + (\cos x - 1)]^{\frac{1}{x^2}}$，$\lim \limits_{x \to 0} (\cos x - 1) = 0$，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$，$\lim\limits_{x \to 0} (\cos x - 1) \cdot \frac{1}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = -\frac{1}{2}$，所以$\lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}$

解 3：$\lim\limits_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，$\lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim\limits_{x \to 0} [1 + (\cos x - 1)]^{\frac{1}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}} = e^{\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}$
$\infty - \infty$（$\frac{1}{0} - \frac{1}{0}$）型：整理化简，提公因子、倒代换

例：$\lim_{x \to \infty} x^2 [\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x}] = \lim_{x \to \infty} x^2 \times (\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x})$

提公因子得$\lim_{x \to \infty} x^2 \times (-\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{2}$；

倒代换，令$\frac{1}{x} = t$，原式$= \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} (\ln(1 + t) - t) = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t) - t}{t^2}$，用洛必达法则，$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1 + t} - 1}{2t} = \lim_{t \to 0} \frac{-1}{2(1 + t)} = -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{0} - \frac{1}{0}$型：先通分再等价替换
$\infty^0$、$0^0$型：幂指函数指数化

化简

根式有理化
相约（约去）公因子
计算非零因式
等价无穷小替换
拆分极限存在的项
变量替换（尤其是倒代换）
幂指函数指数化

求值

洛必达法则
泰勒公式