不定积分

一、不定积分的性质

$(\int f(x)dx)’ = f(x),$ $d\int f(x)dx = f(x)dx$
$\int f’(x)dx = f(x) + C,$ $d\int f(x) = f(x) + C$
$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数）

二、不定积分基本公式

$\int 0dx = C$
$\int x^{\alpha}dx = \frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha + 1} + C$（$\alpha \neq -1$）
$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$
$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0, a \neq 1$）
$\int e^x dx = e^x + C$
$\int \sin x dx = -\cos x + C$
$\int \cos x dx = \sin x + C$
$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C$
$\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \arctan x + C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$（$a > 0$）
$\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$（$a \neq 0$）
$\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$（$a \neq 0$）
$\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$（$a \neq 0$）
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$（$a > 0$）
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$（$a > 0$）
$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$
$(\int \frac{dt}{1 - t^2} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| + C)$
$(\int \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + C)$

三、三种主要积分法(进行积分时要注意$dx$)

第一类换元法(凑微分法)

定理：设$\int f(u)du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$存在连续导数，则

$
\int f[\varphi(x)]\varphi’(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C
$

第二类换元法（去根号）

定理：设 $ x = \varphi(t) $ 是单调的、可导的函数，并且 $ \varphi’(t) \neq 0 $。又

$ \int f[\varphi(t)]\varphi’(t)dt = F(t) + C $

则$\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi’(t)dt = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C$

其中 $ \varphi^{-1}(x) $ 是 $ x = \varphi(t) $ 的反函数。

当$\sqrt{x是一次}$ ，则令$\sqrt{…}=t$，解得$x=x(t)$,则$x=x’d(t)$
- 含（$x,\sqrt[n]{ax+b}$），令$t = \sqrt[n]{ax+b}$。
- 含（$\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}$），令$t=\sqrt[k]{ax+b}$，$k$为$m$和$n$的最小公倍数。
例：$\int \frac{1}{\sqrt[2]{x} + \sqrt[3]{x}} \, dx$

解：令 $\sqrt[6]{x} = t$ ，则：$x = t^6, \quad dx = 6t^5 \, dt$

$原式=\int \frac{1}{t^3 + t^2} \cdot 6t^5 \, dt$

$=\int \frac{6t^3}{t + 1} dt$

$=6 \int \frac{t^2(t+1) - t(t+1) + (t+1) - 1}{t + 1} dt$

$= 6 \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{t + 1} \right) dt $

$=6 \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \ln|t + 1| \right) + C $

$=2t^3 - 3t^2 + 6t - 6\ln|t + 1| + C $

$=2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln|\sqrt[6]{x} + 1| +C$
- 含（$\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}，ad-bc\neq0$），令$t=\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}$。
- 含 ${\sqrt{e^x \pm a}}$ 的积分，令 ${\sqrt{e^x \pm a} = t}$ ，则推导得：$e^x \pm a = t^2 \implies e^x = t^2 \mp a$ ，取对数得 ${x = \ln(t^2 \mp a)}$ ，微分得 ${dx = \frac{2t}{t^2 \mp a} dt}$
- 分母最高次幂远大于分子最高次幂的积分，令分子为$u$，例如${\int \frac{1}{x(x^n + \dots)} dx}$
例：${\int \frac{1}{x(x^7 + 2)} dx}$

解：令$x = \frac{1}{t}$ ，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$

$=\int \frac{1}{\frac{1}{t} \left( \left( \frac{1}{t} \right)^7 + 2 \right)} \cdot \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt$

$=\int \frac{t}{ \frac{1 + 2t^7}{t^7} } \cdot \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt$

$=-\int \frac{t^8}{1 + 2t^7} \cdot \frac{1}{t^2} dt$

$=-\int \frac{t^6}{2t^7 + 1} dt$

令 $u = 2t^7 + 1$ ，则 $du = 14t^6 dt \implies \frac{1}{14} du = t^6 dt$ ，积分变为：$-\frac{1}{14} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{14} \ln|u| + C = -\frac{1}{14} \ln|2t^7 + 1| + C $ ，$-\frac{1}{14} \ln\left| 2 \cdot \frac{1}{x^7} + 1 \right| + C = -\frac{1}{14} \ln\left| 1 + \frac{2}{x^7} \right| + C $。
当$\sqrt{x是二次}$ 时，则使用三角换元，使用辅助三角形得到最后的结果。
- 被积函数含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $，令 $ x = a\sin t $（或 $ a\cos t $）。
- 被积函数含有 $ \sqrt{a^2 + x^2} $，令 $ x = a\tan t $（或 $ a\cot{t} $）。$\tan^2 {t}+1=\sec^2 {t}$
- 被积函数含有 $ \sqrt{x^2 - a^2} $，令 $ x = a\sec t $（或 $ a\csc t $）。$\cot^2 {t} + 1 = \csc^2{t}$
不带有$\sqrt{…}$，并且含有复杂部分，令复杂部分为t
- 例：$\int \frac{x + 1}{x(1 + x e^x)}dx$，这里$xe^x$就是复杂部分，令$xe^x=t$，则$dt=e^x(1+x)$，
  
  原式$=\int\frac{(x+1)e^x}{xe^x(1+xe^x)}dx$
  
  $=\int\frac{dt}{t(1+t)}$
  
  $=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt$
  
  $=ln\lvert \frac{t}{1+t}\rvert +C$
  
  $=ln\lvert\frac{x e^x}{1+x e^x}\rvert+C$

分部积分法

分部积分公式：$\int u\mathrm{d}v = uv - \int v\mathrm{d}u$
分部积分法所适用的函数类

分部积分法比较适用于两类不同函数相乘的积分，以下 $ p_n(x) $ 为 $ x $ 的 $ n $ 次多项式：
1. $\int p_n(x)e^{\alpha x}\mathrm{d}x$
2. $ \int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x $
3. $ \int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x $
4. $ \int e^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x $
5. $ \int e^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x $
6. $ \int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x $
7. $ \int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x $
8. $ \int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x $
分部积分法中 $u,v$ 的选取（选u的顺序：反对幂三指,越靠后越往$dx$里凑,选择一种之后要继续选择同类型的凑$dx$）

分部积分法使用关键在于 $ u, v $ 选取，即确定把哪个函数凑到微分号里，分以下情况：
1. 对于 $ \int p_n(x)e^{\alpha x}\mathrm{d}x $、$ \int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x $、$ \int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x $ ，应把多项式以外的函数（$ e^{\alpha x} $、$ \sin\alpha x $、$ \cos\alpha x $ ）凑进微分号。
2. 对于 $ \int e^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x $、$ \int e^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x $ ，把指数函数或三角函数凑进微分号均可，通常把指数函数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原可求解。
3. 对于 $ \int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x $、$ \int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x $、$ \int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x $ ，应把多项式函数（$ p_n(x) $ ）凑进微分号。

四、三类常见可积函数积分

有理函数积分 $\int R(x)dx$

有理函数积分是微积分中不定积分的重要类型，其核心思路是通过代数变形将复杂有理式拆解为简单可积形式，常用方法如下：

有理函数形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $（$ P(x),Q(x) $ 为多项式，$ Q(x)\neq0 $ ），核心是用部分分式分解，将其拆为：

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{多项式} + \sum \frac{A_i}{(x - a_i)^{k_i}} + \sum \frac{B_jx + C_j}{(x^2 + p_jx + q_j)^{m_j}}$

（其中 $ x^2 + p_jx + q_j $ 是不可约二次式，$ p_j^2 - 4q_j < 0 $ ）

具体方法与步骤

多项式除法（假分式→多项式 + 真分式）

若 $ \deg P(x) \geq \deg Q(x) $（分子次数≥分母次数），先用多项式长除法，将假分式拆为 “多项式 + 真分式”（真分式：分子次数 < 分母次数）。

例：$ \int \frac{x^3 + 1}{x + 1}dx $，先分解 $ \frac{x^3 + 1}{x + 1}=x^2 - x + 1 $（多项式除法），再积分 $ \int (x^2 - x + 1)dx $。

部分分式分解（真分式→简单分式和）

对真分式 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $，按分母 $ Q(x) $ 的因式分解形式分解：

情况 1：分母含单一次因式 $(x-a)$

对应部分分式：$ \frac{A}{x - a} $（$ A $ 为待定系数）。
情况 2：分母含重一次因式 $(x-a)^k$

对应部分分式：$ \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x - a)^k} $。
情况 3：分母含不可约二次因式 $x^2+px+q,(p^2-4q<0)$

对应部分分式：$ \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} $（$ B,C $ 为待定系数）。
情况 4：分母含重不可约二次因式 $(x^2+px+q)^m,(m\ge2)$

对应部分分式：$ \frac{B_1x + C_1}{x^2 + px + q} + \frac{B_2x + C_2}{(x^2 + px + q)^2} + \dots + \frac{B_mx + C_m}{(x^2 + px + q)^m} $。
1. 待定系数法求分解系数

通过通分、比较分子系数确定待定系数 $ A,B,C,\dots $。

例：分解 $ \frac{2x + 3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $，设：

$
\frac{2x + 3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}
$

通分后比较分子 $ 2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1) $，代入特殊值（如 $ x = 1 $ ）或展开比较系数，解出 $ A,B,C $。

积分简单分式（基本积分公式 + 技巧）

分解后，对简单分式用基本积分公式或技巧（如换元法）积分：

对 $ \frac{A}{x - a} $：$ \int \frac{A}{x - a}dx = A\ln|x - a| + C $。
对 $ \frac{A}{(x - a)^k} $（$ k\geq2 $）：$ \int \frac{A}{(x - a)^k}dx = \frac{A}{(1 - k)(x - a)^{k - 1}} + C $。
对 $ \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} $：

先配方 $ x^2 + px + q = (x + \frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4}) $，再拆分为 $ \frac{B(x + \frac{p}{2}) + (C - \frac{Bp}{2})}{(x + \frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})} $，分别用 $\int \frac{f’(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C$ 和 $ \int \frac{1}{u^2 + a^2}du = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C $ 积分。

例：以 $ \int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}dx $ 为例：

因式分解分母：$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) $。
部分分式分解：设 $ \frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} $，通分后比较分子得 $ A = -3, B = 4 $，即 $ \frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-3}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} $。
分别积分：

$
\int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}dx = -3\ln|x - 2| + 4\ln|x - 3| + C
$

补充技巧

换元简化：遇复杂分母，优先换元（如 $ t = x^2 $、$ t = \sqrt{x} $ 等）降低次数。
观察凑微分：对分子含分母导数的情况，直接凑微分（如 $ \int \frac{2x}{x^2 + 1}dx = \ln(x^2 + 1) + C $ ）。

有理函数积分的关键是 分解复杂→积分简单，通过多项式除法、部分分式分解，将难题拆解为基本积分公式可解决的形式，多练习分解技巧（待定系数法）和积分化简即可熟练掌握

三角有理式积分 $\int R(\sin{x},\cos{x})dx$

基于对称性的变换（首选）

$ R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x) \implies $ 令 $ t = \sin x $
$ R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x) \implies $ 令 $ t = \cos x $
$ R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x) \implies $ 令 $ t = \tan x $

万能公式($\int\frac{dx}{a+b\cos{x}},\int\frac{dx}{a+b\sin{x}}一次适合万能代换$)

令 $t = \tan \frac{x}{2}$ ，则有：

正弦函数：$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$
余弦函数：$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
微分关系：$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$

正切函数：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{1 - t^2}$

“1” 的用处

利用三角恒等式中 “1” 的变形，构造齐次式或简化表达式：

核心恒等式：$(\sin^2 x + \cos^2 x)^a = 1 \quad \text{（构造齐次式常用，$a$ 为指数）}$
正割 / 余割恒等式：$\sec^2 x = \tan^2 x + 1, \quad \csc^2 x = \cot^2 x + 1$

倍半角公式

倍角公式将高次角转化为低次角，是降次、化简的基础：

正弦倍角：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$
余弦倍角（三种形式）：$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x$

积化和差公式（两类一次幂三角函数相乘）

将 $\sin \alpha x \sin \beta x$、$\sin \alpha x \cos \beta x$、$\cos \alpha x \cos \beta x$ 转化为和差形式，简化积分：

$\sin \alpha x \sin \beta x = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)x - \cos(\alpha-\beta)x]$
$\sin \alpha x \cos \beta x = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)x + \sin(\alpha-\beta)x]$
$\cos \alpha x \cos \beta x = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)x + \cos(\alpha-\beta)x]$

高次幂三角函数积分（$\int \sin^\alpha x \cos^\beta x \, dx$）

分两种情况处理，核心思路是降次或凑微分：

$\alpha$ 或 $\beta$ 至少一个为奇数

将奇数幂拆出一次项，凑微分简化：

示例：计算 $\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$

拆出 $\sin x$ 凑微分：

$\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cdot \sin x \, dx$

$= -\int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \, d(\cos x) \quad \text{（利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，且 $d(\cos x) = -\sin x dx$）}$

$= -\int (\cos^2 x - \cos^4 x) \, d(\cos x)$

$= -\frac{1}{3}\cos^3 x + \frac{1}{5}\cos^5 x + C$

$\alpha$ 和 $\beta$ 均为偶数（降次）

用倍角公式降次到一次幂，逐步化简：

正弦降次：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
余弦降次：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

示例：计算 $\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx$

降次化简：

$\begin{align}
\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx &= \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) dx \\
&= \frac{1}{4} \int (1 - \cos^2 2x) dx \\
&= \frac{1}{4} \int \left( 1 - \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) dx \\
&= \frac{1}{8} \int (1 - \cos 4x) dx \\
&= \frac{1}{8}x - \frac{1}{32}\sin 4x + C
\end{align}$

简单无理函数积分

三角换元（根号下出现平方）

被积函数含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $，令 $ x = a\sin t $（或 $ a\cos t $）。
被积函数含有 $ \sqrt{a^2 + x^2} $，令 $ x = a\tan t $（或 $ a\cot{t} $）。$\tan^2 {t}+1=\sec^2 {t}$
被积函数含有 $ \sqrt{x^2 - a^2} $，令 $ x = a\sec t $（或 $ a\csc t $）。$\cot^2 {t} + 1 = \csc^2{t}$

根式换元

含（$x,\sqrt[n]{ax+b}$），令$t = \sqrt[n]{ax+b}$。
含（$\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}$），令$t=\sqrt[k]{ax+b}$，$k$为$m$和$n$的最小公倍数。
含（$\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d}，ad-bc\neq0$），令$t=\sqrt[n]\frac{ax+b}{cx+d} $。