导数

定义：设函数$y = f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f’(x_0)$，或$y’|_{x = x_0}$，或$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$。如果上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导。

【注】常用的导数定义的等价形式：$f’(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$，$f’(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。

定义（左导数）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$及其某个左邻域内有定义，若左极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在时，则称该极限值为$f(x)$在点$x_0$处的左导数，记为$f’_-(x_0)$。

定义（右导数）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$及其某个右邻域内有定义，若右极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$存在时，则称该极限值为$f(x)$在点$x_0$处的右导数，记为$f’_+(x_0)$。

导数与左右导数的关系，类比于函数极限与函数左右极限的关系。

定理:

  • 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

  • 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的必要条件是：$f(x)$在点$x_0$处连续（即$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$）

定义（区间上可导及导函数）：如果$y = f(x)$在开区间$(a,b)$内每一点都可导，则称$f(x)$在区间$(a,b)$内可导。此时对于$(a,b)$内的每一点$x$，都对应一个导数值$f’(x)$，常称$f’(x)$为$f(x)$在$(a,b)$内的导函数，简称为导数。若$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，且$f’_+(a)$和$f’_-(b)$都存在，则称$f(x)$在区间$[a,b]$上可导。

  • 导数的左极限：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f’(x) = f’_-(x_0) = f’(x_0 - 0)$

  • 导数的右极限：$\lim\limits_{x \to x_0^+} f’(x) = f’_+(x_0) = f’(x_0 + 0)$

导数的左 / 右极限求法：先求导函数；再求导函数在该点的左 / 右极限。

分段函数在分段点的导数一定要用定义来求解！！！可能不可导</span>

导函数的左右极限与左导数、右导数无必然联系

证明：探讨极限$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$（$c \neq 0$）存在时，是否能推出$f(x)$在$x_0$处可导。

若$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = a$存在，则$f’(x_0) = a$。由此衍生出：

  • $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} = f’(x_0)$（令$\Delta x = ah$）；

  • $\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh} = f’(x_0)$（令$\Delta x = -bh$）。

错误推导分析

若直接将$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$拆分为：$
\frac{a}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} + \frac{b}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh}
$

进而得到$\frac{a + b}{c}f’(x_0)$存在，就断言$f(x)$在$x_0$处可导，这种推导是错误的。因为拆分后两个单独的极限不一定存在，仅整体极限存在不能保证部分极限存在。

反例验证（以$f(x) = |x|$为例）

取$a = b = c = 1$，$x_0 = 0$，计算：

$
\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0 - h)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{|h| - |-h|}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0
$

此极限存在，但$f(x) = |x|$在$x = 0$处不可导（左导数为$-1$，右导数为$1$，左右导数不相等）。这表明：即使$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$存在，也不能推出$f(x)$在$x_0$处可导。

结论：极限$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}$存在，不能推出$f(x)$在$x_0$处可导，核心原因是拆分后的两个极限（对应左、右导数相关的极限）不一定存在。

微分

  • 定义（微分）：设函数$y = f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果函数的增量$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$可以表示为$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$（$\Delta x \to 0$），其中$A$为不依赖于$\Delta x$的常数，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记为$dy = A\Delta x$。

  • 定理：函数$y = f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有$dy = f’(x_0)\Delta x = f’(x_0)dx$。在点$x$处，常记$dy = f’(x)dx$。

导数与微分的几何意义

  1. 导数的几何意义：

  • 导数$f’(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

  • 如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处必有切线，其切线方程为$y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0)$。

  • 如果$f’(x_0) \neq 0$，则此曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的法线方程为$y - f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x - x_0)$。

  • 如果$f’(x_0) = 0$，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线方程为$y = f(x_0)$，即曲线在点$(x_0,f(x_0))$处有水平切线。

  • 【注】 若函数$f(x)$在$x = x_0$处可导，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处有切线，反之则不然。例如曲线$y = x^{\frac{1}{3}}$在点$(0,0)$处有切线$x = 0$（$y$轴），但函数$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$在$x = 0$处不可导（$f’(0) = \infty$）。

  1. 微分的几何意义：

  • 微分$dy = f’(x_0)dx$在几何上表示曲线$y = f(x)$的切线上的增量。

  • $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$上的增量，且$\Delta y \approx dy$。

连续、可导、可微之间的关系

连续可导可微关系

函数可导与可微是等价的；可导（可微）能推出函数连续，但连续不能推出可导（可微）。

若$ f(x) $在$ x_0 $的某领域可导，不能推出$ f’(x) $在$ x_0 $处连续和$ \lim \limits_{x \to x_0} f’(x) $存在。

证明：函数$ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x = 0\end{cases} $在$ x = 0 $处可导，但$ \lim \limits_{x \to 0} f’(x) $不存在：

解：当$ x\neq0 $时，$ f’(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} $；当$ x = 0 $时，$ f’(0)=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0 $。

​ $ \lim \limits_{x \to 0} f’(x)=\lim \limits_{x \to 0}(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}) $，无穷小X有界-有界=极限不存在。

二阶可导不保证二阶导数连续或有极限。

总结：若$ f(x)n $阶可导，洛必达法则可对$ f^{n - 1}(x) $,若$ f(x)n $阶连续可导，洛必达法则可对$ f^{n}(x) $使用。

证明可导$ \to $可微：

条件：$ f’(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $。

结论：$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x) $（其中$ A = f’(x_0) $，$ o(\Delta x) $是$ \Delta x $的高阶无穷小）。

​ 因为$ \lim f(x)=A \Leftrightarrow \lim f(x)=A + \alpha $（$ \alpha $为无穷小）

​ 所以$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f’(x_0)+\alpha $（$ \alpha $为无穷小）。

​ 进而$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f’(x_0)\Delta x+\alpha\cdot\Delta x $，又因为$ \frac{\alpha\cdot\Delta x}{\Delta x}=\alpha $（$ \alpha $为无穷小），

​ 所以$ f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot\Delta x + o(\Delta x) $（$ A = f’(x_0) $）。

导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

  1. $(C)’ = 0$

  2. $(x^{\alpha})’ = \alpha x^{\alpha - 1}$

  3. $(a^{x})’ = a^{x}\ln a$

  4. $(e^{x})’ = e^{x}$

  5. $(\log_{a}x)’ = \frac{1}{x\ln a}$

  6. $(\ln |x|)’ = \frac{1}{x}$

  7. $(\sin x)’ = \cos x$

  8. $(\cos x)’ = -\sin x$

  9. $(\tan x)’ = \sec^{2}x$

  10. $(\cot x)’ = -\csc^{2}x$

  11. $(\sec x)’ = \sec x\tan x$

  12. $(\csc x)’ = -\csc x\cot x$

  13. $(\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

  14. $(\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

  15. $(\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^{2}}$

  16. $(\text{arccot }x)’ = -\frac{1}{1 + x^{2}}$

  17. ($\left[\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

  18. $\left[\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)\right]^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}}$

2. 求导法则（别忘了后面要加上$dx$）

(1) 有理运算法则

设 $u = u(x)$，$v = v(x)$ 在 $x$ 处可导，则：

  • $(u \pm v)’ = u’ \pm v’$

  • $(uv)’ = u’v + uv’$

  • $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^{2}} \ (v \neq 0)$

(2) 复合函数求导法

设 $u = \varphi(x)$ 在 $x$ 处可导，$y = f(u)$ 在对应点处可导，则复合函数 $y = f[\varphi(x)]$ 在 $x$ 处可导，且 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f’(u)\varphi’(x)$。

(3) 隐函数求导法

隐函数定义：隐函数中，$ y $ 与 $ x $ 的关系隐含在一个等式 $ F(x,y) = 0 $ 中。

例如：$ x^2 + y^2 = 4 $，可变形为 $ x^2 + y^2 - 4 = 0 $。

显函数则是因变量、自变量分别在等式两端，$ y $ 和 $ x $ 各占一边，比如 $ y = 3x $。

求导法则

把 $ y $ 看作与 $ x $ 相关的量，即 $ y = y(x) $，等式两端同时对 $ x $ 求导。

  • 若 $ y $ 对 $ x $ 求导，结果为 $ y’(x) $；

  • 若 $ y^2 $ 对 $ x $ 求导，根据复合函数求导法则，结果为 $ 2y(x) \cdot y’(x) $；

  • 若 $ \ln y $ 对 $ x $ 求导，结果为 $ \frac{1}{y(x)} \cdot y’(x) $。

以 $ x^2 + y^2 = 4 $ 为例，对 $ x $ 求导：

根据求导法则，$ x^2 $ 对 $ x $ 求导得 $ 2x $，$ y^2 $ 对 $ x $ 求导得 $ 2y \cdot y’ $，等式右边 $ 4 $ 对 $ x $ 求导得 $ 0 $，所以有 $ 2x + 2y \cdot y’ = 0 $。

技巧：取对数简化计算，一般应用于指数函数中。

例题1：$ a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2} $（$ a>0 $）求 $ y’ $ 。

利用对数运算性质：

  • $ \ln(ab) = \ln a + \ln b $

  • $ \ln(a^b) = b\ln a $

  • $ \ln e^u = u $（因为 $ \ln $ 与 $ e $ 互为反函数）

对原式 $ a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2} $ 两边取自然对数：

$\ln\left(a e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)$

$\ln a + \ln\left(e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}\right)$

$\ln a + \arctan\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)$

对等式两边关于 $ x $ 求导：$\left(\arctan\frac{y}{x}\right)’ = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)’$，$\left(\frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)\right)’ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (x^2 + y^2)’$。

$ \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{xy’ - y}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (2x + 2y \cdot y’)$

$ \frac{xy’ - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y \cdot y’}{x^2 + y^2}$

$ y’ = \frac{x + y}{x - y}$。

例题2：已知$ f(u) $有二阶导数，且$ f’(0) = 1 $，由$ y - x e^{y - 1} = 1 $确定$ y = y(x) $，设$ z = f(\ln y - \sin x) $，求$ \frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} $和$ \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} $。

步骤 1：求$\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}$

（1）求$ x = 0 $时$ y $的值

将$ x = 0 $代入$ y - x e^{y - 1} = 1 $，可得$ y - 0 = 1 $，即$ y = 1 $。

（2）对$ z = f(\ln y - \sin x) $求一阶导数

根据复合函数求导法则，$ \frac{dz}{dx} = f’(\ln y - \sin x) \cdot (\ln y - \sin x)’ $。

对$ \ln y - \sin x $求导，$ (\ln y)’ = \frac{1}{y} \cdot y’ $，$ (\sin x)’ = \cos x $，所以$ (\ln y - \sin x)’ = \frac{y’}{y} - \cos x $。

因此，$ \frac{dz}{dx} = f’(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y’}{y} - \cos x \right) $。

（3）求$ y’ \big|_{x = 0} $

对$ y - x e^{y - 1} = 1 $两边关于$ x $求导：$ y’ - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y’ = 0 $。

将$ x = 0 $，$ y = 1 $代入上式，得$ y’ - e^{0} - 0 = 0 $，即$ y’ = 1 $，所以$ y’ \big|_{x = 0} = 1 $。

（4）计算$ \frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} $

将$ x = 0 $，$ y = 1 $，$ y’ \big|_{x = 0} = 1 $代入$ \frac{dz}{dx} $的表达式：$ \frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = f’(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right) = f’(0) \cdot (1 - 1) = 0 $。

步骤 2：求$ \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} $

（1）对$ \frac{dz}{dx} $求二阶导数

$ \frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( f’(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y’}{y} - \cos x \right) \right) $

根据乘积法则和复合函数求导法则：

$
\begin{align}
\frac{d^2z}{dx^2} &= f’’(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y’}{y} - \cos x \right)^2 + f’(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y’’ \cdot y - (y’)^2}{y^2} + \sin x \right)
\end{align}
$

（2）求$ y’’ \big|_{x = 0} $

对$ y’ - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y’ = 0 $两边关于$ x $求导：$ y’’ - e^{y - 1} \cdot y’ - e^{y - 1} \cdot y’ - x \left( e^{y - 1} \cdot (y’)^2 + e^{y - 1} \cdot y’’ \right) = 0 $。

将$ x = 0 $，$ y = 1 $，$ y’ = 1 $代入上式，得$ y’’ - 1 - 1 - 0 = 0 $，即$ y’’ = 2 $，所以$ y’’ \big|_{x = 0} = 2 $。

（3）计算$ \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} $

将$ x = 0 $，$ y = 1 $，$ y’ = 1 $，$ y’’ = 2 $代入$ \frac{d^2z}{dx^2} $的表达式：

$
\begin{align}
\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} &= f’’(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right)^2 + f’(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{2 \cdot 1 - 1^2}{1^2} + \sin 0 \right) \\
&= f’’(0) \cdot 0^2 + f’(0) \cdot (1 + 0) \\
&= 0 + 1 \cdot 1 \\
&= 1
\end{align}
$

综上，$ \frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = 0 $，$ \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} = 1 $。

(4) 反函数求导法

反函数定义：若有函数关系$\begin{cases} f(x) = y \\ g(y) = x \end{cases}$，则$ f(g(y)) = f(x) = y $，且满足$ f(g(x)) = x $，此时$ g $是$ f $的反函数，$ f $也是$ g $的反函数。

导数公式：若$ y = f(x) $在$ x_0 $的某邻域内连续且严格单调，$ y = f(x) $在$ x_0 $可导且$ f’(x_0) \neq 0 $，则其反函数$ x = \varphi(y) $在$ y_0 = f(x_0) $点可导，且有：$ \varphi’(y_0) = \frac{1}{f’(x_0)} $，也可表示为$ [f^{-1}(y)]’ = \frac{1}{f’(x)} $或$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} $。

反函数的导数等于原函数导数的倒数。

例题： 求$ y = \cot x $（$ x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $）反函数的导数

$ y = \cot x $（$ x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $）的反函数为 $ x = \varphi(y) = \text{arccot } y $。

根据反函数导数公式：若$ y = f(x) $的反函数为$ x = \varphi(y) $，则$ \varphi’(y) = \frac{1}{f’(x)} $。

已知$ (\cot x)’ = -\csc^2 x $，又因为三角恒等式$ \csc^2 x = \cot^2 x + 1 $，且$ y = \cot x $，所以$ \csc^2 x = y^2 + 1 $，则$ (\cot x)’ = - (y^2 + 1) $。

将$ f’(x) = - (y^2 + 1) $代入反函数求导公式，可得：$ \varphi’(y) = \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{- (y^2 + 1)} = -\frac{1}{y^2 + 1} $，即$ (\text{arccot } y)’ = -\frac{1}{y^2 + 1} $。

补充三角函数导数与恒等式（辅助公式）

  • $ (\cot x)’ = -\csc^2 x $，$ \csc^2 x = \cot^2 x + 1 $；

  • $ (\tan x)’ = \sec^2 x $，$ \sec^2 x = \tan^2 x + 1 $；

  • $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $，$ \csc x = \frac{1}{\sin x} $。

(5) 参数方程求导法

设 $ y = y(x) $ 是由参数方程 $ \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} $（$ \alpha < t < \beta $）确定的函数，则：

一阶导数：若 $ \varphi(t) $ 和 $ \psi(t) $ 都可导，且 $ \varphi’(t) \neq 0 $，则$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}$。

二阶导数若： $ \varphi(t) $ 和 $ \psi(t) $ 二阶可导，且 $ \varphi’(t) \neq 0 $，则$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)} \right) \cdot \frac{1}{\varphi’(t)} = \frac{\psi’’(t)\varphi’(t) - \varphi’’(t)\psi’(t)}{\varphi’^3(t)}$。

3. 高阶导数

定义（高阶导数）：如果 $ y’ = f’(x) $ 作为 $ x $ 的函数在点 $ x $ 可导，则称 $ y’ $ 的导数为 $ y = f(x) $ 的二阶导数，记为 $ y’’ $，或 $ f’’(x) $，或 $ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} $。

一般地，函数 $ y = f(x) $ 的 $ n $ 阶导数为 $ y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]’ $，也可记为 $ f^{(n)}(x) $ 或 $ \frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} $。即 $ n $ 阶导数就是 $ n - 1 $ 阶导函数的导数，

$f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f^{(n - 1)}(x_0 + \Delta x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0}.$

【注】：如果函数 $ f(x) $ 在点 $ x $ 处 $ n $ 阶可导，则在点 $ x $ 的某邻域内 $ f(x) $ 必定具有一切低于 $ n $ 阶的导数。

常用的高阶导数公式

  • $ (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right) $。

  • $\sin^{(n)}(ax + b) = a^n \sin\left(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$。

  • $ (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right) $。

  • $ (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} $。
  • $ (uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)} $。注意k从0开始

补充：$\mathrm{C}_{n}^{k}$ 是组合数符号，它表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的组合数。

组合数的计算公式为：$\mathrm{C}_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$，其中 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$，并且规定 $0! = 1$，同时 $k$ 满足 $0 \leq k \leq n$。