微分中值定理与导数应用

微分中值定理

定理（费马引理）

设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，如果函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处取得极值，那么 $ f’(x_0) = 0 $。

定理（罗尔定理）

如果 $ f(x) $ 满足以下条件：

在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
$ f(a) = f(b) $，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f’(\xi) = 0 $。

适用特征：

端点值不出现/不完整
常只有一个变量

解题方法：

构造函数将要证明部分转换成 “导函数 $ + \lambda \cdot $ 原函数 $ = 0 $” 的形式
之后构造 $ F(x) = $ 原函数 $ \cdot e^{\int \lambda dx} $。

几何意义：当$f(x)$满足上面三个条件时，函数图象上至少有一点 $ \xi $，使该点处切线水平。

例题1：已知 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $ f(1) = 0 $，求证：存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f’(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi} $

证明过程：

还原变量：将待证式中的 $ \xi $ 替换为 $ x $，得到 $ f’(x) = -\frac{f(x)}{x} $。

变形为 “导函数 $ + \lambda \cdot $ 原函数 $ = 0 $” 形式：对 $ f’(x) = -\frac{f(x)}{x} $ 进行变形，可得 $ f’(x) + \frac{1}{x}f(x) = 0 $，这里 $ \lambda = \frac{1}{x} $

构造辅助函数：根据 “导函数 $ + \lambda \cdot $ 原函数 $ = 0 $ 时，构造 $ F(x) = $ 原函数 $ \cdot e^{\int \lambda dx} $” 的方法，构造 $ F(x) = f(x) \cdot e^{\int \frac{1}{x}dx} $。

计算积分 $ \int \frac{1}{x}dx = \ln x $（$ x>0 $），所以 $ F(x) = f(x) \cdot e^{\ln x} = f(x) \cdot x $。

验证罗尔定理条件

连续性：因为 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，$ y = x $ 在 $[0,1]$ 上也连续，所以 $ F(x) = f(x) \cdot x $ 在 $[0,1]$ 上连续。
可导性：$ f(x) $ 在 $(0,1)$ 内可导，$ y = x $ 在 $(0,1)$ 内可导且导数为 $ 1 $，根据乘积的求导法则，$ F(x) $ 在 $(0,1)$ 内可导。
端点函数值：$ F(0) = f(0) \cdot 0 = 0 $；$ F(1) = f(1) \cdot 1 = 0 $（因为 $ f(1) = 0 $），所以 $ F(0) = F(1) $。

应用罗尔定理：

由罗尔定理可知，至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ F’(\xi) = 0 $。

对 $ F(x) = x f(x) $ 求导，根据乘积求导法则 $ (uv)’ = u’v + uv’ $，可得 $ F’(x) = f(x) + x f’(x) $。

令 $ x = \xi $，则 $ F’(\xi) = f(\xi) + \xi f’(\xi) = 0 $，整理可得 $ f’(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi} $，得证。

例题2：已知 $ f(x) $ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $ f(0) = f(1) = 0 $，$ f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $。求证：存在 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f’(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1 $。

证明过程

还原变量：将待证式中的 $ \xi $ 替换为 $ x $，得到 $ f’(x) - \lambda [f(x) - x] = 1 $。

变形为 “导函数 $ + A \cdot $ 原函数 $ = 0 $” 形式：对 $ f’(x) - \lambda [f(x) - x] = 1 $ 变形，可得 $ (f’(x) - 1) - \lambda [f(x) - x] = 0 $，这里把 $ f’(x) - 1 $ 看作导函数部分，$ f(x) - x $ 看作原函数部分，$ A = -\lambda $。

构造辅助函数：根据 “导函数 $ + A \cdot $ 原函数 $ = 0 $ 时，构造 $ F(x) = $ 原函数 $ \cdot e^{\int A dx} $” 的方法，构造 $ F(x) = [f(x) - x] \cdot e^{\int -\lambda dx} $。

计算积分 $ \int -\lambda dx = -\lambda x $（$ x \in (0,1) $），所以 $ F(x) = [f(x) - x] \cdot e^{-\lambda x} $，且 $ e^{-\lambda x} > 0 $。

寻找满足 $ F(x_1) = F(x_2) $ 的点：

计算 $ F(0) $：$ F(0) = [f(0) - 0] \cdot e^{0} = 0 \cdot 1 = 0 $。
分析 $ f(x) - x $ 在区间 $ \left[\frac{1}{2}, 1\right] $ 上的情况：$ f(1) - 1 = 0 - 1 = -1 $，$ f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $。

由零点定理，因为 $ f(x) - x $ 在 $ \left[\frac{1}{2}, 1\right] $ 上连续，且 $ f\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0 $，$ f(1) - 1 = -1 < 0 $，所以存在 $ \eta \in \left(\frac{1}{2}, 1\right) $，使得 $ f(\eta) - \eta = 0 $，即 $ F(\eta) = [f(\eta) - \eta] \cdot e^{-\lambda \eta} = 0 $。

应用罗尔定理：因为 $ F(0) = F(\eta) = 0 $，且 $ F(x) $ 在 $[0, \eta]$ 上连续，在 $(0, \eta)$ 内可导，由罗尔定理可知，至少存在一点 $ \xi \in (0, \eta) \subseteq (0,1) $，使得 $ F’(\xi) = 0 $。

对 $ F(x) = [f(x) - x] \cdot e^{-\lambda x} $ 求导，根据乘积求导法则 $ (uv)’ = u’v + uv’ $，可得：

$
\begin{align}
F’(x) &= (f’(x) - 1) \cdot e^{-\lambda x} + [f(x) - x] \cdot e^{-\lambda x} \cdot (-\lambda) \\
&= e^{-\lambda x} \left[(f’(x) - 1) - \lambda (f(x) - x)\right]
\end{align}
$

令 $ x = \xi $，则 $ F’(\xi) = e^{-\lambda \xi} \left[(f’(\xi) - 1) - \lambda (f(\xi) - \xi)\right] = 0 $。

因为 $ e^{-\lambda \xi} > 0 $，所以 $ (f’(\xi) - 1) - \lambda (f(\xi) - \xi) = 0 $，整理可得 $ f’(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1 $，得证。

例题3：

设 $ f(x) $，$ g(x) $ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，求证：存在 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ \frac{f(a) - f(\xi)}{g(\xi) - g(b)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} $。

分析：由于式子中只出现 $ f(a) $、$ g(b) $，未出现 $ g(a) $、$ f(b) $，端点值不配套，考虑用罗尔定理，通过构造辅助函数证明。

还原变量：将待证式中的 $ \xi $ 替换为 $ x $，得到 $ \frac{f(a) - f(x)}{g(x) - g(b)} = \frac{f’(x)}{g’(x)} $。

变形为 “导函数相关等式” 形式：对 $ \frac{f(a) - f(x)}{g(x) - g(b)} = \frac{f’(x)}{g’(x)} $ 交叉相乘变形，可得 $ g’(x) \cdot [f(a) - f(x)] - [g(x) - g(b)] \cdot f’(x) = 0 $。

构造辅助函数：构造 $ F(x) = [g(x) - g(b)] \cdot [f(x) - f(a)] $。

验证罗尔定理条件

连续性：因为 $ f(x) $，$ g(x) $ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $ F(x) = [g(x) - g(b)] \cdot [f(x) - f(a)] $ 在 $[a,b]$ 上连续。
可导性：$ f(x) $，$ g(x) $ 在 $(a,b)$ 内可导，根据乘积的求导法则，$ F(x) $ 在 $(a,b)$ 内可导。
端点函数值：$ F(a) = [g(a) - g(b)] \cdot [f(a) - f(a)] = 0 $；$ F(b) = [g(b) - g(b)] \cdot [f(b) - f(a)] = 0 $。

所以 $ F(a) = F(b) $。

应用罗尔定理

由罗尔定理可知，至少存在一点 $ \xi \in (a,b) $，使得 $ F’(\xi) = 0 $。

对 $ F(x) = [g(x) - g(b)] \cdot [f(x) - f(a)] $ 求导，根据乘积求导法则 $ (uv)’ = u’v + uv’ $，可得：

$
\begin{align}
F’(x) &= g’(x) \cdot [f(x) - f(a)] + [g(x) - g(b)] \cdot f’(x)
\end{align}
$

令 $ x = \xi $，则 $ F’(\xi) = g’(\xi) \cdot [f(\xi) - f(a)] + [g(\xi) - g(b)] \cdot f’(\xi) = 0 $，整理可得 $ g’(\xi) \cdot [f(a) - f(\xi)] - [g(\xi) - g(b)] \cdot f’(\xi) = 0 $。

因为 $ g’(\xi) $ 与 $ g(\xi) - g(b) $ 若满足一定条件（保证分母不为零等，结合可导性等前提），可变形为 $ \frac{f(a) - f(\xi)}{g(\xi) - g(b)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} $，得证。

定理（拉格朗日中值定理）

如果 $ f(x) $ 满足以下条件：

在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ f(b) - f(a) = f’(\xi)(b - a) $。

推论：如果在 $(a,b)$ 内恒有 $ f’(x) = 0 $，则在 $(a,b)$ 内 $ f(x) $ 为常数。
定理（柯西中值定理）：如果 $ f(x), F(x) $ 满足以下条件：

在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $ F’(x) $ 在 $(a,b)$ 内每一点处均不为零，

则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $ \xi $，使得 $ \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f’(\xi)}{F’(\xi)} $。

泰勒公式

定理（皮亚诺型余项泰勒公式）（局部泰勒，适用:极限、极值）：如果 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 有直至 $ n $ 阶的导数，则有$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + o[(x - x_0)^n] ， $

常称 $ R_n(x) = o[(x - x_0)^n] $ 为皮亚诺型余项。若 $ x_0 = 0 $，则得麦克劳林公式：$ f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{1}{2!}f’’(0)x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n + o(x^n) $
定理（拉格朗日型余项泰勒公式）（整体泰勒，适用:最值、不等式）：设函数 $ f(x) $ 在含有 $ x_0 $ 的开区间 $(a,b)$ 内有直到 $ n + 1 $ 阶的导数，则当 $ x \in (a,b) $ 时有$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + R_n(x) $，其中 $ R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1} $，这里 $ \xi $ 介于 $ x_0 $ 与 $ x $ 之间，称为拉格朗日型余项。

几个常用的泰勒公式（拉格朗日型余项）

$ \mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n + 1)!}x^{n + 1} $。
$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^{2n - 1}}{(2n - 1)!} + (-1)^n\frac{\cos(\theta x)}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} $。
$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + (-1)^{n + 1}\frac{\cos(\theta x)}{(2n + 2)!}x^{2n + 2} $。
$ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n - 1}\frac{x^n}{n} + (-1)^n\frac{x^{n + 1}}{(n + 1)(1 + \theta x)^{n + 1}} $。
$ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)(\alpha - n)}{(n + 1)!}(1 + \theta x)^{\alpha - n - 1}x^{n + 1} $

（以上 $ \theta $ 满足 $ \theta \in (0,1) $）

导数应用

函数的单调性

定理：设 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。

若在 $(a,b)$ 内 $ f’(x) > 0 $，则 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上单调增。
若在 $(a,b)$ 内 $ f’(x) < 0 $，则 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上单调减。

函数的极值

定义：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某邻域内有定义。如果对于该邻域内任何 $ x $，恒有 $ f(x) \leq f(x_0) $（或 $ f(x) \geq f(x_0) $），则称 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的一个极大值点（或极小值点），称 $ f(x_0) $ 为 $ f(x) $ 的极大值（或极小值）。极大（小）值统称为极值；极大（小）值点统称为极值点。导数为零的点称为函数的驻点。

定理（极值的必要条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，如果 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的极值点，则 $ f’(x_0) = 0 $。
定理（极值的第一充分条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某去心邻域内可导，且 $ f’(x_0) = 0 $（或 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续）。
- 若 $ x < x_0 $ 时，$ f’(x) > 0 $，$ x > x_0 $ 时，$ f’(x) < 0 $，则 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的极大值点。
- 若 $ x < x_0 $ 时，$ f’(x) < 0 $，$ x > x_0 $ 时，$ f’(x) > 0 $，则 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的极小值点。
- 若 $ f’(x) $ 在 $ x_0 $ 的两侧同号，则 $ x_0 $ 不为 $ f(x) $ 的极值点。
定理（极值的第二充分条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处二阶可导，且 $ f’(x_0) = 0 $。
- 若 $ f’’(x_0) < 0 $，则 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的极大值点。
- 若 $ f’’(x_0) > 0 $，则 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 的极小值点。
- 若 $ f’’(x_0) = 0 $，则此方法不能判定 $ x_0 $ 是否为极值点。

函数的最大值与最小值

定义：设函数 $ y = f(x) $ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，$ x_0 \in [a,b] $。若对于任意 $ x \in [a,b] $，恒有 $ f(x) \leq f(x_0) $（或 $ f(x) \geq f(x_0) $），则称 $ f(x_0) $ 为函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值），称 $ x_0 $ 为 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的最大值点（或最小值点）。

函数的最值主要有以下两种问题：

求连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的最大最小值：

求出 $ f(x) $ 在开区间 $(a,b)$ 内的驻点和不可导的点 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $。
求出 $ f(x) $ 在点 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 和区间端点 $ a,b $ 处的函数值 $ f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), f(a), f(b) $。
比较以上各点函数值，其中最大的即为 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的即为 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的最小值。

【注】：当连续函数 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 内仅有唯一极值点，若在该点 $ f(x) $ 取极大值（或极小值），则它也是 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的最大值（或最小值）。

求最大最小值的应用题：

这种问题首先建立目标函数并确定其定义域，然后按照上面的三个步骤求其最大值（或最小值）。

曲线的凹凸性

定义：设函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上连续，如果对 $ I $ 上任意两点 $ x_1, x_2 $ 恒有 $ f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上的图形是凹的；如果恒有 $ f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上的图形是凸的。

定理：设函数 $ y = f(x) $ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导，那么

若在 $(a,b)$ 内有 $ f’’(x) > 0 $，则 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的。
若在 $(a,b)$ 内有 $ f’’(x) < 0 $，则 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的。

定义（拐点）：连续曲线弧上的凹与凸的分界点称为曲线弧的拐点$(x_0,f(x_0))$

定理（拐点的必要条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处二阶可导，且点 $ (x_0, f(x_0)) $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的拐点，则 $ f’’(x_0) = 0 $。
定理（拐点的第一充分条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某去心邻域内二阶可导，且 $ f’’(x_0) = 0 $（或 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处连续）。
- 若 $ f’’(x) $ 在 $ x_0 $ 的左、右两侧异号，则点 $ (x_0, f(x_0)) $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的拐点。
- 若 $ f’’(x) $ 在 $ x_0 $ 的左、右两侧同号，则点 $ (x_0, f(x_0)) $ 不为曲线 $ y = f(x) $ 的拐点。
定理（拐点的第二充分条件）：设 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处三阶可导，且 $ f’’(x_0) = 0 $。
- 若 $ f’’’(x_0) \neq 0 $，则点 $ (x_0, f(x_0)) $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的拐点。
- 若 $ f’’’(x_0) = 0 $，则此方法不能判定 $ (x_0, f(x_0)) $ 是否为曲线 $ y = f(x) $ 的拐点。

曲线的渐近线

定义：若点 $ M $ 沿曲线 $ y = f(x) $ 无限远离原点时，它与某条定直线 $ L $ 之间的距离将趋近于零，则称直线 $ L $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的一条渐近线。若直线 $ L $ 与 $ x $ 轴平行，称 $ L $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的水平渐近线；若直线 $ L $ 与 $ x $ 轴垂直，称 $ L $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的铅直渐近线；若直线 $ L $ 既不平行于 $ x $ 轴，也不垂直于 $ x $ 轴，称直线 $ L $ 为曲线 $ y = f(x) $ 的斜渐近线。

水平渐近线：若 $ \lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A $（或 $ \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A $，或 $ \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A $），那么 $ y = A $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的水平渐近线。
铅直渐近线：若 $ \lim \limits_{x \to x_0} f(x) = \infty $（或 $ \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty $，或 $ \lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty $），那么 $ x = x_0 $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的铅直渐近线。
斜渐近线：若 $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a $ 且 $ \lim \limits_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b $（或 $ x \to -\infty $，或 $ x \to +\infty $），那么 $ y = ax + b $ 是曲线 $ y = f(x) $ 的斜渐近线。

函数的作图

利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点及渐近线可以作出函数曲线。

曲线的弧微分与曲率（数三不要求）

定义：设 $ y = f(x) $ 在 $(a,b)$ 内有连续导数，则有弧微分 $ \mathrm{d}s = \sqrt{1 + y’^2}\mathrm{d}x $。
定义：设 $ y = f(x) $ 有二阶导数，则有曲率 $K = \frac {|y’’|}{(1 + y’^2)^{3/2}}$，称 $ \rho = \frac{1}{K} $ 为曲率半径。

定义：若曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ M(x,y) $ 处的曲率为 $ K(K \neq 0) $。在点 $ M $ 处曲线的法线上，在曲线凹的一侧取一点 $ D $，使 $ |DM| = \frac{1}{K} = \rho $，以 $ D $ 为圆心，$ \rho $ 为半径的圆称为曲线在点 $ M $ 处的曲率圆，圆心 $ D $ 称为曲线在点 $ M $ 处的曲率中心。

导数在经济学中的应用（仅数三要求）

（1）经济学中常见的函数

① 需求函数：$ x = \varphi(p) $；其中 $ x $ 为某产品的需求量，$ p $ 为价格。需求函数的反函数 $ p = \varphi^{-1}(x) $ 称为价格函数。

② 供给函数：$ x = \psi(p) $；其中 $ x $ 为某产品的供给量，$ p $ 为价格。

③ 成本函数：成本 $ C = C(x) $ 是生产产品的总投入，它由固定成本 $ C_1 $（常量）和可变成本 $ C_2(x) $ 两部分组成，其中 $ x $ 表示产量，即 $ C = C(x) = C_1 + C_2(x) $，称 $ \frac{C}{x} $ 为平均成本，记为 $ \overline{C} $ 或 $ AC $，$ AC = \overline{C} = \frac{C}{x} = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2(x)}{x} $。

④ 收益（入）函数：收益 $ R = R(x) $ 是产品售出后所得的收入，是销售量 $ x $ 与销售单价 $ p $ 之积，即收益函数为 $ R = R(x) = px $。

⑤ 利润函数：利润 $ L = L(x) $ 是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成，即利润函数为 $ L = L(x) = R(x) - C(x) $（$ x $ 是销售量）。

（2）边际函数与边际分析

① 边际函数的有关概念：设 $ y = f(x) $ 可导，则在经济学中称 $ f’(x) $ 为边际函数，$ f’(x_0) $ 称为 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处的边际值。

② 经济学中常用的边际分析：

边际成本：设成本函数为 $ C = C(q) $（$ q $ 是产量），则边际成本函数 $ MC $ 为 $ MC = C’(q) $；
边际收益：设收益函数为 $ R = R(q) $（$ q $ 是产量），则边际收益函数 $ MR $ 为 $ MR = R’(q) $；
边际利润：设利润函数为 $ L = L(q) $（$ q $ 是销售量），则边际利润函数 $ ML $ 为 $ ML = L’(q) $。

（3）弹性函数与弹性分析

① 弹性函数的有关概念：设 $ y = f(x) $ 可导，则称 $ \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} $ 为函数 $ f(x) $ 当 $ x $ 从 $ x $ 变到 $ x + \Delta x $ 时的相对弹性，称

$
\eta = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} = f’(x) \frac{x}{y} = \frac{f’(x)}{f(x)} x
$

为函数 $ f(x) $ 的弹性函数，记为 $ \frac{Ey}{Ex} $，即

$
\eta = \frac{Ey}{Ex} = f’(x) \frac{x}{f(x)}
$

它在经济学上解释为函数 $ f(x) $ 在 $ x $ 处的相对变化率。

② 经济学中常用的弹性分析：

需求的价格弹性：设需求函数 $ Q = \varphi(p) $（$ p $ 为价格），则需求对价格的弹性为 $ \eta_d = \frac{p}{\varphi(p)} \varphi’(p) $。由于 $ \varphi(p) $ 是单调减少函数，故 $ \varphi’(p) < 0 $，从而 $ \eta_d < 0 $。

经济学中的解释为：当价格为 $ p $ 时，若提价（或降价）$ 1\% $，则需求量将减少（或增加）$ |\eta_d| \% $。

需要注意的是，很多试题中规定需求对价格的弹性 $ \eta_d > 0 $，此时应该有公式$ \eta_d = -\frac{p}{\varphi(p)} \varphi’(p)$
供给的价格弹性：设供给函数 $ Q = \psi(p) $（$ p $ 为价格），则供给对价格的弹性为 $ \eta_s = \frac{p}{\psi(p)} \psi’(p) $。由于供给函数 $ \psi(p) $ 单调增加，故 $ \psi’(p) > 0 $，从而 $ \eta_s > 0 $。

经济学中的解释为：当价格为 $ p $ 时，若提价（或降价）$ 1\% $，则供给量将增加（或减少）$ \eta_s \% $。

【例 1】（2014）设某商品的需求函数为 $ Q = 40 - 2p $（$ p $ 为商品的价格），则该商品的边际收益为______。

解：由题设知收益函数为

$ R = pQ = \frac{40 - Q}{2} \cdot Q$

则边际收益为

$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q} = 20 - Q$

【注】：一种典型的错误答案是 $ 40 - 4p $。边际收益是 “当商品的需求量在 $ Q $ 的基础上再增加一件所获得的收益”，所以边际收益为 $ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}Q} $，部分考生错误地将 $ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p} $ 当作边际收益。